[ Coursera ] 자산 배분의 강력한 tool, Black-Litterman Model

Black-Litterman Model

From Coursera "Advanced Portfoilo Construction Analysis"

https://www.coursera.org/learn/advanced-portfolio-construction-python/lecture/Vgyoc/black-litterman-analysis

Black-Litterman Analysis - Robust estimates for expected returns | Coursera

 

 

배경) 일반적인 Expected Return의 한계

기존 평균-분산 모형 (Mean-Variance Portfolio)은 최적의 자산 배분을 찾기 위해 경제학적, 그리고 투자론적으로도 아주 기초가 되는 자산 모델이다. 기대 수익률 평균과 위험으로 표현되는 수익률 분산 데이터를 이용해 분산 대비 수익률 (Sharpe ratio)이 가장 높은 점이 가장 최적의 투자점이 되는데 아마 상경계열 학생이라면 익숙한 그래프일 것이다.

 

평균-분산 모형 최적화 그래프

https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-0-387-77117-5_10

Portfolio Optimization Models and Mean–Variance Spanning Tests

기대수익률과 위험만을 이용한 아주 간단한 모델이지만, 그만큼 단순하고 비현실적인 가정들 때문에 현실을 정확히 반영한다고 보기에는 무리가 있다고 본다.

 

 

Mean-Variance Portfolio model의 한계점

1. 과거 수익률 데이터에 의존하므로 과거지향적 관점의 자산배분
2. 정규분포를 따른다는 가정으로 인한 높은 추정오차
3. 단일 자산군 집중으로 인한 위험관리 실패

 

우선 과거데이터를 기반으로 배분이 되기 때문에 급변하는 현실을 반영하기 힘들다. 게다가 수익률 데이터는 비정규성을 띄고 노이즈가 심해 정규분포를 가정하고 포트폴리오를 짜게 되면 높은 추정오차를 야기한다. 즉, 입력데이터의 미미한 변화때문에 결과값이 크게 바뀌는 등, 민감하게 반응할 뿐 더러 지극히 과거 데이터에 치중해 모형의 안정성과 결과값의 신뢰도에 있어 문제가 발생한다.

더불어 이 모델의 결과는 결국 분산투자는 고려하지 않고 위험대비 최고의 수익률을 낼 수 있는 자산배분 weight를 도출하는 데에 포커스가 맞춰져 있어 소수 자산에 집중투자하는 경향이 있다. (조만간 증명 그래프자료를 첨부할 예정)

 

 

 

 

 

Black-Litterman Model 개요

Black-Litterman Model은 1990년에 골드만삭스의 Fisher Black과 Robert Litterman에 의해 개발된 포트폴리오 배분을 위한 수학적 모형이다. 아래의 관련 논문 링크를 눌러 더 자세히 볼 수 있다.....는 구글링해도 원문은 찾기 힘들어 생략,,,

 

아무튼 Black-Litterman Model에 따르면 BLM을 통해 도출한  'Implied Expected Return'을 활용하면 이러한 한계를 해결할 수 있다.

모델의 기본적인 아이디어는 다음의 두 가지를 반영해 "최적의 포트폴리오 자산 배분"을 수학적으로 도출 하는 것이다.

 

1. 현재의 최적의 자산 배분비율 =  현재 시장 포트폴리오의 자산 배분 비율 (시장 포트폴리오 가정)
2. 투자자의 개인적 시장전망 견해를 반영

 

Black-Litterman Model 도식

 출처: https://aip.scitation.org/doi/pdf/10.1063/1.4979429

 

자산배분의 비율은 시장가치에 따라 비례적이라는 균형가정을 바탕으로 투자자의 개인적 시장전망 견해를 고려하여 개인 맞춤 자산배분 비율을 결정할 수 있다. 그래서 투자자나 펀드매니저가 개별 자산에 대한 (성과)전망을 모형에 유연하게 적용할 수 있다. 게다가 모든 투자 유니버스의 기대수익률, 분산에 대한 데이터를 알아야 했던 평균-분산 모델과 달리 궁금한 자산에 대한 데이터만 있으면 충분히 자산 배분이 가능하다. 왜 그런지는 이 글의 후반에서 더 자세히 설명하겠다.

 

BLM모델의 Approach

1. Market Portfolio를 True Optimal Pf로 사용한다. -> CAPM 모델에서 CAPM을 기준점 (Anchor Point)로 지정

2. 베이지안(Bayesian)을 기반으로 포트폴리오를 구성한다. -> 직관적인 포트폴리오 with 합리적인 weight

3. 투자자의 시장전망을 직관적으로 반영할 수 있는 새로운 자산배분모형

 

 

BLM Implied (Neutral) Expected Returns

• Neutral Prior distribution (중립사전확률분포)는 시장포트폴리오 가정하에 reverse engineering을 통해 얻어졌다.
• Formula : 기존 Engineering과 Reverse Engineering 과 비교

포트폴리오 최적화 방법론, 출처 Coursera

 

Bayesian 사전확률은 진정한 기대 수익은 파이(ㅠ)로 표시된 시장 잠재 가치에 초점을 맞춘다. 그래서 포트폴리오 기대수익률인 mu는 시장 포트폴리오 기대수익률 행렬과 정규분포를 따르는 시장에 대해 전망하는 불확실성의 합으로 표현할 수 있다. 왜냐하면 tau가 사전 불확실성을 나타내는 scalar, Sigma는 공분산행렬을 의미하기 때문이다.

 

포트폴리오 기대수익률인 mu는 시장 포트폴리오 기대수익률 행렬과 정규분포를 따르는 시장에 대해 전망하는 불확실성의 합으로 표현할 수 있다. 

 

 

About Active Views : 투자자가 바라보는 시장 전망 요소

투자자가 바라보는 시장 전망 요소에서 도출되는 기대수익률인 Q에 정규분포를 띄는 error terms를 반영하는 것이 바로 acitive views가 반영된 각 자산 * 기대수익률 이 된다. 

 

 

 

Black-Litterman Formula

 

 

 

 

 

 

 

 

More About Black-Litterman Model

BLM 모델을 이용해 조금 더 디테일하게 Implied expected return과 weight를 도출하고, 어떤 의의가 있는 지 살펴보자.

 

 

1단계 : Expected Return with No-Views

  두 개의 벡터로 이루어진 mean 행렬, 역사적 평균과 CAPM 평균을 서로 분석한다. 역사적 평균데이터는 negative한 값이나 데이터에 noise가 많은 반면 CAPM은 훨씬 괜찮은 성과를 보이고 있다는 사실을 알 수 있다. 위 데이터를 이용해 Black-Litterman Model 의 Implied return을 도출하겠다.

가정 ) Cap-weighted Pf (input값) = Max sharpe ratio Pf  (A.K.A. 시장포트폴리오 가정)
도출 ) Implied value for expected returns(ㅠ) 는 cap-weighted index이자 Max sharpe PF

 

  도출을 통해 나오는 Implied return은 매우 합리적이며, 이 수익률의 분산은 실제로 작은 편이다. 또한 노이즈가 될 수 있는 과도한 positive 수익률 데이터도 나오지 않는다.  그리고 이 모든 수익률에 대해 동일한 Sharpe Ratio를 도출할 수 있는 Scailed factor가 존재한다고 한다. Scailed factor는 이 강의에서는 일종의 주어진 수량이라고 설명하는 데, 사실 모호해서 이 정도로 설명은 패스. 

 

  CAPM에서 도출된 수익률과  BLM implied return사이에 굉장히 높은 Correlation을 보인다. 강의 내에서 소개한 데이터에서는 무려 99% 이상의 상관관계를 보였다...! 그런데 생각해보면 기본적으로 시장포트폴리오 전제 + MSG를 치는 거니까 높은 상관관계를 가지는 건 당연한 이야기다.

 

 

 

2단계 : Expected Inputs -> Portfolios by maximizing Sharpe Ratio

  아무튼 cap-weighted pf 만들면 당연히 수익률도 대체로 잘 나올 것이고, 실제 market cap index를 벤치마크로 삼았으니 포트폴리오에 많이 반영했을 것이다.

그래서 BLM에 implied expected return 넣고 최적화를 통해 예측치를 찾으면 결국에는 다시 cap-weighted, 시총액에 비례하는 벤치마크 포트폴리오와 비슷한 기대수익률과 자산배분비율이 도출될 것이다.

 

다시 말해,

Black-Litterman with no views가 시장총액(market cap)에 비례하는 가중치를 얻게 되는 이유는 바로 

" 시장에서 시사하는 벤치마크 가중치를 cap-weighted를 최대 작업(max operation)으로 설계하도록 디자인 " 되었기 때문이다.

 

- Black-Litterman 모델에 있어서 ㅠ (pie, implied equilibrium return vector)는 시장중립적인 starting point가 되고
- No-views implied expected return은 최대 샤프비율 포트폴리오가 되는 Equal-weighted 포트폴리오가 된다.

 

 

 

3단계 : 2단계 + Active Views

절대적 수치, 상대적 수치 모두 표현 가능하고, 단일 종목부터 다수의 종목에 걸쳐 표현도 가능하다.

 

View 적용예시 )

View 1. Utility 업종은 절대적인 리턴이 3%다.

View 2. Food 업종은 Books 업종보다 1%정도 성과가 좋다.

View 3. Beer, Smoke 업종은 철강산업보다 1.5% 정도 성과가 좋다.

 

 

BLM은 모델이 굉장히 적용하기에 유연하다. Confidence Level (시장전망에 대한 신뢰도)는 이러한 Views에 따라 좌우된다. 아마도 다음의 가정 때문이라고 생각한다. (라고 말하는 거 같다.)

가정 ) View에 대한 신뢰도는 사전분포(시장상황에 대한 전망을 담은 분포)의 분산과 비례한다.

 

더 자세히 알고 싶다면 아래 논문을 참고하면 된다.

 

THE INTUITION BEHIND BLACK-LITTERMAN MODEL PORTFOLIOS

http://npo-jasmine.org/wp-content/uploads/2016/09/SSRN-id3343041.pdf

 

 

 

 

4단계 : Portfolio + Active views

BLM의 ER (Expected Return)과 Weights를 View 반영 유무에 따라 비교해보자.

Views 반영 유무에 따른 ER, Weights. 출처 : Coursera

 

  다음의 표와 같이 각 업종에 대해 벤치마크에 대한 상대적인 신뢰도와 자신의 active views에 대한 신뢰도를 고려해서 ER과 weights를 표로 제시했다. 우리가 집중해야 할 것은 각 "Difference" Columns인데 3열의 Difference of ER는  (ER with views - ER without Views) = ER of Views 로 표현할 수 있다.

   그리고 6열의 Difference of weights를 보면 (diff = 0%) 이므로 weights no views는 benchmark pf와 거의 동일함을 알 수 있다.  0이 아닌 diff는 투자자의 Views를 해당 종목에 얼마나 반영했는지를 보여준다. Food 업종의 경우 벤치마크 포트폴리오에 비해 17.7% 정도 더 많이 투자하고 있음을 알 수 있다. 반면 Mines는 diff=0이므로 벤치마크 뷰와 동일한 투자 비중을 갖고 있다. 이렇게 View에 반영되지 않은 항목은 벤치마크 포트폴리오와 반드시 똑같은 weight를 가지고 있어야 한다.

 

  

 따라서 Difference 값은 매우 의미가 크다.  출처 : Coursera

 

 

Wrap-Up

• Black-Litterman Model은 정교하고 복잡한 포트폴리오를 만들고 싶은 투자자, 펀드매니저에게 잇어 그들의 투자전략에 active views를 통합할 수 있는 아주 중요한 틀이다.
• Black-Litterman Model은 투자자산 선택보다는 전형적으로 "자산배분결정" 맥락에서 주로 사용된다.